Controle

Exercice 1

(Source Bac 2010 - Polynésie)

Dans le service informatique d'une société, chaque informaticien a le choix entre deux logiciels de gestion : le logiciel Bestmath ou bien, le logiciel Aurora. Le chef de du réseau informatique enregistre chaque année, en janvier, le nombre d'utilisateurs des deux logiciels et fournit des rapports réguliers.

  • Lors de l'enquête de janvier 2009, la probabilité qu'un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora est 0,32/
  • Lors de l'enquête suivante en janvier 2010, il a été constaté que 20% des utilisateurs d'Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Bestmath, tandis que 25% des utilisateurs de Bestmath avaient changé pour Aurora.

On interroge un informaticien au hasard et on définit les évènements suivants :

  • \(A_1\) : "la personne interrogée a choisi le logiciel Aurora la première année"
  • \(B_1\) : "la personne interrogée a choisi le logiciel Bestmath la première année"
  • \(A_2\) : "la personne interrogée a choisi le logiciel Aurora la deuxième année"
  • \(B_2\) : "la personne interrogée a choisi le logiciel Bestmath la deuxième année"

1 Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré illustrant la situation.
2 Que vaut la probabilité \(p_{B_1} (B_2)\) ? A quoi correspond cette probabilité ? Répondre avec une phrase.
3 Calculer la probabilité qu'un informaticien utilise le logiciel Bestmath la première et la deuxième année.
4 Inversons le problème : en utilisant la formule du cours, calculer la probabilité qu'un informaticien ait utilisé le logiciel Bestmath la première année, sachant qu'il l'utilise la deuxième année (arrondir au millième près).
Exercice 2
1 Soit \((u_n)\) une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(u_0\). Rappeler la formule permettant de calculer \(u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_{n}\)
2 Calculer \(1 + 3 + ... + 177147\)
Exercice 3 Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 € à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %. On note \(C_n\) le capital du client au 1er janvier de l’année 2000 + n, où n est un entier naturel.
1 Calculer \(C_1\) et \(C_2\). Arrondir les résultats au centime d’euro.
2 Exprimer \(C_{n+1}\) en fonction de \(C_n\). En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a la relation \(C_n = 3 000 \times 1,025^n\).
3 On donne l’algorithme suivant :
a Pour la valeur \(S = 3300\) saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité.
b En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de \(S\) saisie est \(3300\).
c Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre \(S\) supérieur à \(3000\).